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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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2. Encuentre, si las hay, las ecuaciones de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas (tanto para x→+∞x \rightarrow +\infty como para x→−∞x \rightarrow -\infty) de las siguientes funciones. Localice en un dibujo, la posición del gráfico de la función con respecto a las asíntotas halladas
e) f(x)=x3x2−1f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}-1}

Respuesta

Asíntotas verticales

Como el dominio de ff es R−{−1,1}\mathbb{R} - \{-1,1\}, entonces x=−1x=-1 y x=1x=1 son nuestros candidatos a asíntota vertical. Para ver si efectivamente lo es necesitamos tomar los límites:

👉 En x=−1x=-1

lim⁡x→−1−x3x2−1=−∞ \lim_{{x \to -1^-}} \frac{x^3}{x^2 - 1} = -\infty

lim⁡x→−1+x3x2−1=+∞ \lim_{{x \to -1^+}} \frac{x^3}{x^2 - 1} = +\infty

👉 En x=1x=1

lim⁡x→1−x3x2−1=−∞ \lim_{{x \to 1^-}} \frac{x^3}{x^2 - 1} = -\infty

lim⁡x→1+x3x2−1=+∞ \lim_{{x \to 1^+}} \frac{x^3}{x^2 - 1} = +\infty

Por lo tanto, x=−1x=-1 y x=1x=1 son asíntotas verticales de ff. 

Asintotas horizontales

Para estudiar si hay asíntotas horizontales, tenemos que tomar límite cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞x3x2−1=+∞ \lim_{{x \to +\infty}} \frac{x^3}{x^2 - 1} = +\infty

lim⁡x→−∞x3x2−1=−∞ \lim_{{x \to -\infty}} \frac{x^3}{x^2 - 1} = -\infty

Asíntotas oblicuas
Sabemos que la asíntota tiene la forma y=mx+by = mx + b. En la clase de asíntotas vimos que, si existe asíntota oblicua, los valores de mm y bb van a salir de plantear: m=lim⁡x→±∞f(x)x m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} b=lim⁡x→±∞(f(x)−mx) b = \lim_{x \to \pm\infty} \left( f(x) - mx \right)

Arrancamos primero buscando mm. 

m=lim⁡x→±∞x3x(x2−1)= lim⁡x→±∞x3x3−x=1  m = \lim_{{x \to \pm\infty}} \frac{x^3}{x(x^2 - 1)} =  \lim_{{x \to \pm\infty}} \frac{x^3}{x^3 - x} = 1 

Ahora, calculamos b b : b=lim⁡x→±∞(x3x2−1−x)= lim⁡x→±∞x3−x3+xx2−1= lim⁡x→±∞xx2−1=0 b = \lim_{{x \to \pm\infty}} \left(\frac{x^3}{x^2 - 1} - x\right) =  \lim_{{x \to \pm\infty}} \frac{x^3 - x^3 + x}{x^2 - 1} = \lim_{{x \to \pm\infty}} \frac{ x}{x^2 - 1} = 0

Por lo tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es y=xy = x
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